공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

일차변환 역행렬

문제

좌표평면에서 xx축에 대한 대칭변환을 ff, 원점을 중심으로 60∘60 ^\circ만큼 회전하는 회전변환을 gg라 하자 일차변환 (g∘f)−1( g \circ f ) ^{-1}을 나타내는 행렬을 (12ab−12)\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & a \\ b & - \frac{1}{2} \end{pmatrix}이라 할 때, 100(a2+b2)100 ( a ^{2} + b ^{2} )의 값을 구하여라. [3점]

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150

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해설

변환 ff를 나타내는 행렬은 (100−1)\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix} 변환 gg를 나타내는 행렬은 (cos⁡60−sin⁡60∘sin⁡60∘cos⁡60∘)\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos 60} & {- \sin 60 ^\circ} \\ {\sin 60 ^\circ} & {\cos 60 ^\circ} \end{pmatrix}=(12−323212)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {- \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{1}{2}} \end{pmatrix} 변환 g∘fg \circ f를 나타내는 행렬은 (12−323212)(100−1)\displaystyle \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {- \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{1}{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix}=(123232−12)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {- \frac{1}{2}} \end{pmatrix} 따라서 변환 (g∘f)−1( g \circ f ) ^{-1}를 나타내는 행렬은 (123232−12)−1\displaystyle {\begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {- \frac{1}{2}} \end{pmatrix}} ^{-1}=(123232−12)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {- \frac{1}{2}} \end{pmatrix} ∴ a=b=32\displaystyle a = b = \frac{\sqrt{3}}{2} ∴ 100(a2+b2)=100(34+34)=150\displaystyle 100 ( a ^{2} + b ^{2} ) = 100 \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = 150 [다른 풀이] (g∘f)−1=f−1∘g−1( g \circ f ) ^{-1} = f ^{-1} \circ g ^{-1} f−1f ^{-1}=f= f이므로 변환 f−1f ^{-1}을 나타내는 행렬은 (100−1)\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix} 변환 g−1g ^{-1}는 원점을 중심으로 −60∘- 60 ^\circ만큼 회전하는 회전변환이므로 변환 g−1g ^{-1}을 나타내는 행렬은 (cos⁡(−60∘)−sin⁡(−60∘)sin⁡(−60∘)cos⁡(−60∘))\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos ( - 60 ^\circ )} & {- \sin ( - 60 ^\circ )} \\ {\sin ( - 60 ^\circ )} & {\cos ( - 60 ^\circ )} \end{pmatrix}=(1232−3212)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {- \frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{1}{2}} \end{pmatrix} 따라서 변환 (g∘f)−1( g \circ f ) ^{-1}를 나타내는 행렬은 (100−1)(1232−3212)\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {- \frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{1}{2}} \end{pmatrix}=(123232−12)\displaystyle = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {- \frac{1}{2}} \end{pmatrix} ∴ a=b=32\displaystyle a = b = \frac{\sqrt{3}}{2} ∴ 100(a2+b2)=100(34+34)=150\displaystyle 100 ( a ^{2} + b ^{2} ) = 100 \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = 150

태그

#일차변환#회전변환#역행렬

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