공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

일차변환 합성

문제

행렬 (1002)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}로 나타내어지는 일차변환을 ff, 원점을 중심으로 π4\displaystyle \frac{\pi}{4}만큼 회전하는 회전변환을 gg라 하자. 합성변환 f∘gf \circ g에 의하여 점 (3,3)( 3 , 3 )이 옮겨진 점을 P\mathrm{P}라 할 때, 선분 OP\mathrm{OP}의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점] ①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②25\displaystyle 2 \sqrt{5}③42\displaystyle 4 \sqrt{2}④35\displaystyle 3 \sqrt{5}⑤62\displaystyle 6 \sqrt{2}

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⑤

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해설

gg의 변환행렬은 π4\displaystyle \frac{\pi}{4}만큼 회전변환이므로 (22−222222)=22(1−111)\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} f∘g(33)=(1002)22(1−111)(33)\displaystyle f \circ g {\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}}} =22(1002)(1−111)(33)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}} =22(1002)(06)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}} =22(012)=(062)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \sqrt{2} \end{pmatrix} 따라서 P(0,62)\displaystyle \mathrm{P} \left( 0 , 6 \sqrt{2} \right)이고 ∴OP‾=62\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{OP}} = 6 \sqrt{2}

태그

#일차변환#회전변환

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