일차방정식 자연수 해

$3 ( y + z ) = 32 - x$ $3 ( y + z )$가 $3$의 배수이므로 $32 - x$도 $3$의 배수이어야 한다. $x$, $y$, $z$가 자연수이므로 $32 - x =$$6$, $9$, $12$, $15$, ⋯ , $30$ 이고 이때, $x = 26$, $23$, $20$, ⋯, $2$ $y + z = 2$, $3$, $4$, ⋯, $10$이다. $y = y' + 1$, $z = z' + 1$이라 하면 $y' + z' = 0$, $1$, $2$, ⋯, $8$ 이고 순서쌍 $( y' , z' )$을 정하는 방법의 가짓수는 $\mathrm{_{2}} H _{0} + _{2} H _{1} + _{2} H _{2} + \cdots + _{2} H _{8}$ $= \mathrm{_{1}} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + \cdots + _{9} C _{8}$ $= \mathrm{_{1}} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + \cdots + _{9} C _{8}$ $= \mathrm{_{1}} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{1} + \cdots + _{9} C _{1}$ $= 1 + 2 + 3 + \cdots + 9$ $\displaystyle = \frac{9 \cdot 10}{2}$$= 45$ 이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $45$개다.