공통수학1이차방정식과 이차함수AI기본 문제 (3점 중반)

일차 조건식과 제곱합의 최솟값

문제

두 실수 x,yx , y2x+y=62 x + y = 6을 만족시킬 때, x2+y2x ^{2} + y ^{2}의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

2x+y=62 x + y = 6에서 y=62xy = 6 - 2 x이므로 x2+y2=x2+(62x)2=5x224x+36x ^{2} + y ^{2} = x ^{2} + ( 6 - 2 x ) ^{2} = 5 x ^{2} - 24 x + 36 =5(x125)2+365\displaystyle = 5 \left( x - \frac{12}{5} \right) ^{2} + \frac{36}{5} 따라서 x=125\displaystyle x = \frac{12}{5}, y=65\displaystyle y = \frac{6}{5}일 때 최솟값은 365\displaystyle \frac{36}{5}이다.

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