일차 확률밀도함수

ㄱ. $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx = 1$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} ( ax + b ) dx = \left[ \frac{a}{2} x ^{2} + bx \right] _{0} ^{1} = \frac{a}{2} + b = 1$ (참) ㄴ. 확률밀도함수의 그래프가 $x = m$에 대하여 대칭일 때와 같은 특별한 경우일 때만 성립한다. [반례] ${\mathrm{P}} ( 0 \leq x \leq 1 ) = 1$이므로 ${\mathrm{P}} ( 0 \leq x \leq m )$$= {\mathrm{P}} ( m \leq x \leq 1 )$ $\leftrightarrow$ ${\mathrm{P}} ( 0 \leq x \leq m )$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ $f ( x ) = 2 x$ ($0 \leq x \leq 1$)인 경우 ${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} x f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} 2 x ^{2} dx$$\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{2}{3}} 2 x dx = \frac{4}{9}$ 이므로 ${\mathrm{P}} ( 0 \leq x \leq m )$$\displaystyle \ne \frac{1}{2}$이다. ∴ ${\mathrm{P}} ( 0 \leq x \leq m )$$\ne {\mathrm{P}} ( m \leq x \leq 1 )$ (거짓) ㄷ. ${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} x f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} x ( ax + b ) dx = \left[ \frac{a}{3} x ^{3} + \frac{b}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$ $0 \leq x \leq 1$인 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq 0$이어야 하므로 $f ( 0 ) =$$b \geq 0$이고 $f ( 1 ) =$$a + b \geq 0$이다. ㄱ에서 $\displaystyle \frac{a}{2} + b = 1$이므로 $\displaystyle b = 1 - \frac{a}{2} \geq 0$ 에서 $a \leq 2$ $\displaystyle a + b = \frac{a}{2} + 1 \geq 0$에서 $a \geq - 2$ ∴ $- 2 \leq a \leq 2$ $\displaystyle \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$$\displaystyle = \frac{a}{3} + \frac{1 - \frac{a}{2}}{2}$$\displaystyle = \frac{a}{12} + \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \leq$${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$ 따라서 ${\mathrm{E}} ( X )$의 최댓값과 최솟값의 합은 $1$이다. [다른 풀이] ${\mathrm{E}} ( X )$의 값이 작으려면 $0$근처 구간에서의 확률이 커야한다. 따라서 ${\mathrm{E}} ( X )$가 최소가 되는 경우는 [그림1]과 같다. 비슷한 방법으로 ${\mathrm{E}} ( X )$가 최대가 되는 경우는 [그림2]와 같다.

[그림1] [그림2]

${\mathrm{E}} ( X )$가 최대가 되는 순간과 최소가 되는 순간의 확률밀도함수의 그래프가 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$에 대하여 대칭이므로 ${\mathrm{E}} ( X )$의 최댓값과 최솟값의 합은 $1$이다.