일반항을 구하는 과정의 빈칸

자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 1} = S _{n + 1} - S _{n}$ 이므로 주어진 식에 의하여 $S _{n + 1} = ( n + 2 ) S _{n} + n ! ( n \geq 1 )$ 이다. 양변을 $( n + 2 ) !$로 나누면 $\displaystyle \frac{S _{n + 1}}{( n + 2 ) !} = \frac{S _{n}}{( n + 1 ) !} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ 이다. $\displaystyle b _{n} = \frac{S _{n}}{( n + 1 ) !}$ 이라 하면 $\displaystyle b _{1} = \frac{1}{2}$ 이고, $\displaystyle b _{n + 1} = b _{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ 이다. 수열 $b _{n}$의 일반항을 구하면 $\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$ $\displaystyle = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1}$ $\displaystyle = \frac{\square {n}}{n + 1}$ 이므로 $S _{n} = n \times n !$ 이다. 이때, $a _{n} = S _{n} - S _{n - 1}$ $= n \times n ! - ( n - 1 ) \times ( n - 1 ) !$ $= ( n ^{2} - n + 1 ) \times ( n - 1 ) ! ( n \geq 2 )$ 이고, $a _{1} = 1 = S _{1}$ 이므로 $a _{n} = \square {( n ^{2} - n + 1 )} \times ( n - 1 ) ! ( n \geq 1 )$ 이다. $\therefore f ( n ) = n , g ( n ) = n ^{2} - n + 1$ $\therefore f ( 7 ) + g ( 6 ) = 7 + 31 = 38$