공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이중근호 정사각형

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 19\displaystyle \sqrt{19}인 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD의 각 변에 빗변의 길이와 넓이가 각각 19\displaystyle \sqrt{19}, 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이고 서로 합동인 직각삼각형 44개를 붙여 한 변의 길이가 p+q\displaystyle p + \sqrt{q}인 정사각형을 만들었다. p+qp + q의 값은? (단, pp와 qq는 자연수이다.) [3점]

①44②55③66④77⑤88

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④

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해설

[출제의도] 이중근호를 이용하여 정사각형의 한 변의 길이를 구한다.

정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 각 변에 직각삼각형 44개를 붙여 만든 정사각형을 EFGH\mathrm{EFGH}라 하면 □EFGH\square \mathrm{EFGH}=□ABCD+4×△AEB= \square \mathrm{ABCD} + 4 \times \triangle AEB =(19)2+4×23\displaystyle = ( \sqrt{19} ) ^{2} + 4 \times 2 \sqrt{3} =19+83\displaystyle = 19 + 8 \sqrt{3} 이므로 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 한 변의 길이는 19+83\displaystyle \sqrt{19 + 8 \sqrt{3}}=19+248\displaystyle = \sqrt{19 + 2 \sqrt{48}} =(4+3)2\displaystyle = \sqrt{\left( 4 + \sqrt{3} \right) ^{2}} =4+3\displaystyle = 4 + \sqrt{3} ∴ p+q=4+3=7p + q = 4 + 3 = 7

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#이중근호#도형

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