공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이중근호 간단히

문제

a=1+2−3,b=1−2+3\displaystyle a = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} , b = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}일 때, a3+b3+1\displaystyle \sqrt{a ^{3} + b ^{3} + 1}을 간단히 하면 p+2q\displaystyle p + 2 \sqrt{q}이다. 이 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 유리수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 식의 값 구하기 s=1,t=2−3\displaystyle s = 1 , t = \sqrt{2} - \sqrt{3}이라 하면 a=s+t,b=s−ta = s + t , b = s - t a3+b3=(s+t)3+(s−t)3=2s3+6st2a ^{3} + b ^{3} = ( s + t ) ^{3} + ( s - t ) ^{3} = 2 s ^{3} + 6 st ^{2} =2+6(2−3)2\displaystyle = 2 + 6 ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) ^{2} =32−126\displaystyle = 32 - 12 \sqrt{6} ∴a3+b3+1=33−2216\displaystyle \therefore a ^{3} + b ^{3} + 1 = 33 - 2 \sqrt{216} a3+b3+1=(24+9)−224×9\displaystyle \sqrt{a ^{3} + b ^{3} + 1} = \sqrt{( 24 + 9 ) - 2 \sqrt{24 \times 9}} =24−9=−3+26\displaystyle = \sqrt{24} - \sqrt{9} = - 3 + 2 \sqrt{6} ∴p+q=−3+6=3\therefore p + q = - 3 + 6 = 3

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#이중근호#곱셈공식

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