이진법과 자릿수

[출제의도] 로그의 지표를 이용하여 자리수 구하기 $n$이 이진법의 수로 101자리수이므로 $\log _{2} n = 100 + \alpha \left( 0 \leq \alpha < 1 \right)$라고 나타낼 수 있다. $n = 2 ^{100 + \alpha}$이므로 양변에 로그를 취하면 $\log _{10} n = \left( 100 + \alpha \right) \times \log _{10} 2$ $\log _{10} 2 = 0.3010$을 식에 대입하면 $\begin{aligned} \log _{10} n = 30.10 + 0.3010 \alpha \\ = 30 + \left( 0.10 + 0.3010 \alpha \right) \\ 0 \leq \alpha < 1 , 0.10 \leq 0.10 + 0.3010 \alpha < 0.4010 \end{aligned}$ $\therefore$ 지표는 30이고, $n$의 자리수는 31이다. $\therefore 31$ (별해) $n$이 이진법의 수로 101자리수이므로 $2 ^{100} \leq n < 2 ^{101}$의 각 변에 상용로그를 취하면 $\begin{aligned} 100 \log _{10} 2 \leq \log _{10} n < 101 \log _{10} 2 \\ 30.10 \leq \log _{10} n < 30.4010 \text{이므로} \\ \log _{10} n = 30 + \alpha \left( 0 \leq \alpha < 1 \right) \end{aligned}$ 자리수는 31이다. $\therefore 31$