이진법 수열의 항

$2$진법의 수를 $10$진법의 수로 고치면 $11 _{( 2 )} = 2 + 1$ $101 _{( 2 )} = 2 ^{2} + 1$ $110 _{( 2 )} = 2 ^{2} + 2$ $1001 _{( 2 )} = 2 ^{3} + 1$ $1010 _{( 2 )} = 2 ^{3} + 2$ $1100 _{( 2 )} = 2 ^{3} + 2 ^{2}$ $10$진법의 수들을 군수열로 나타내면 $2 + 1 ,$ $( 2 ^{2} + 1 , 2 ^{2} + 2 ) , ( 2 ^{3} + 1 , 2 ^{3} + 2 , 2 ^{3} + 2 ^{2} ) , \cdots$ 각 군의 항수는 $1 , 2 , 3 , 4 , \cdots$이므로 $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n < 56 , \frac{n ( n + 1 )}{2} < 56$에서 $n < 10. \cdots$이므로 $n = 10$일 때 $1 + 2 + 3 + \cdots + 10 = 55$이므로 제 $56$항은 $11$군의 첫째항이다. 따라서, 제 $56$항은 $2 ^{11} + 1$