확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이진법 수의 평균

문제

다음 표는 $0$ 부터 $255$ 까지의 정수를 이진법의 수로 나타낸 것이다.

십진법	이진법
$0$								$0$
$1$								$1$
$2$							$1$	$0$
$3$							$1$	$1$
⋮						⋮
$36$			$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
⋮			⋮
$255$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

이 중에서 $3$ , $36$ 과 같이 두 개의 자리의 수만이 $1$ 인 모든 정수들의 평균은? [4점] ① $\displaystyle \frac{127}{4}$ ② $\displaystyle \frac{125}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{127}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{255}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{255}{2}$

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④

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해설

조건을 만족하는 정수의 개수는 $\displaystyle _{8} \mathrm{C} _{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 이 중 $i$ 번째 ( $i = 0 , 1 , \cdots , 7$ )에 1이 나타나는 정수의 개수는 $7$ 이므로 이러한 정수의 총합은 $\displaystyle 7 \sum\limits _{i = 0} ^{7} 2 ^{i} = 7 ( 2 ^{8} - 1 )$ 따라서 구하는 평균은 $\displaystyle \frac{7 ( 2 ^{8} - 1 )}{28} = \frac{255}{4}$

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