대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이진법 자리수 수열 합

문제

자연수 $n$ 을 이진법의 수로 나타내었을 때, 그 이진법의 수가 $k$ 자리의 수이면 $a _{n} = k$ 로 정의한다. 예를 들면 $7 = 111 _{( 2 )}$ 이므로 $a _{7} = 3$ 이고, $8 = 1000 _{( 2 )}$ 이므로 $a _{8} = 4$ 이다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $20$ 항까지의 합을 구하시오. [4점]

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$1 = 1 _{( 2 )}$ , $2 = 10 _{( 2 )}$ , $3 = 11 _{( 2 )}$ , $4 = 100 _{( 2 )}$ , $5 = 101 _{( 2 )}$ , …, $20 = 10100 _{( 2 )}$ 이므로 $a _{1} = 1 , a _{2} = a _{3} = 2 , a _{4} = a _{5} = a _{6} = a _{7} = 3$ , $a _{8} = a _{9} = \cdots = a _{15} = 4$ , $a _{16} = a _{17} = \cdots = a _{20} = 5$ 따라서, 첫째항부터 제 $20$ 항까지의 합은 $1 + 2 \times 2 + 3 \times 4 + 4 \times 8 + 5 \times 5$ $= 1 + 4 + 12 + 32 + 25 = 74$

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