미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항정리와 등비급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 an=∑r=0nnCr3r2n−r\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{r = 0} ^{n} {}_{n} \mathrm{C} _{\mathit{r}} 3 ^{\mathit{r}} 2 ^{\mathit{n} - r}이다. ∑n=1∞3n−2nan=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{a _{n}} = \frac{q}{p} 일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 이항정리를 이용하여 무한등비급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (a+b)n=∑r=0nnCrarbn−r\displaystyle ( a + b ) ^{n} = \sum\limits _{r = 0} ^{n} {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{r}}}} a ^{r} b ^{n - r}에서 an=∑r=0nnCr3r2n−r=(3+2)n=5n\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{r = 0} ^{n} {}_{n} \mathrm{C} _{\mathit{r}} 3 ^{\mathit{r}} 2 ^{\mathit{n} - r} = ( \mathit{3} + 2 ) ^{n} = 5 ^{n}이다. ∴∑n=1∞3n−2nan=∑n=1∞3n−2n5n\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{5 ^{n}}=∑n=1∞(35)n−∑n=1∞(25)n\displaystyle \left. \left. = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \right( \frac{3}{5} \right) ^{n} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n}=351−35−251−25=32−23=56=qp\displaystyle = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} - \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} = \frac{q}{p} ∴p+q=11\therefore p + q = 11

태그

#이항정리#무한등비급수

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