이항정리 계수 빈칸

다음은 $x$에 대한 다항식 $\left( x + a ^{2} \right) ^{n}$과 $( x ^{2} - 2 a ) ( x + a ) ^{n}$의 전개식에서 $x ^{n - 1}$의 계수가 같게 되는 두 자연수 $a$와 $n \left( n \geq 4 \right)$의 값을 구하는 과정의 일부이다. $\left( x + a ^{2} \right) ^{n}$의 전새식에서 $x ^{n - 1}$의 계수는 $a ^{2} n$이다. $( x ^{2} - 2 a ) ( x + a ) ^{n} = x ^{2} ( x + a ) ^{n} - 2 a ( x + a ) ^{n}$에서 $x ^{2} ( x + a ) ^{n}$을 전개하면 $x ^{n - 1}$의 계수는 $\square {\text{(가)}} \times a ^{3}$이고, $2 a ( x + a ) ^{n}$을 전개하면 $x ^{n - 1}$의 계수는 $2 a ^{2} n$이다. 따라서 $( x ^{2} - 2 a ) ( x + a ) ^{n}$의 전개식에서 $x ^{n - 1}$의 계수는 $\square {\text{(가)}} \times a ^{3} - 2 a ^{2} n$ 이다. 그러므로 $a ^{2} n = \square {\text{(가)}} \times a ^{3} - 2 a ^{2} n$ 이고, 이 식을 정리하여 $a$를 $n$에 관한 식으로 나타내면 $\displaystyle a = \frac{18}{\square {\text{(나)}}}$ 이다. 여기서 $a$는 자연수이고 $n$은 $4$ 이상의 자연수이므로 $n = \square {\text{(다)}}$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$, $g ( n )$이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $f ( k ) + g ( k )$의 값은? [4점] ①$10$②$16$③$22$④$28$⑤$34$