확률과 통계이항정리수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

이항전개 계수 비교

문제

다항식 $2 ( x + a ) ^{n}$ 의 전개식에서 $x ^{n - 1}$ 의 계수와 다항식 $( x - 1 ) ( x + a ) ^{n}$ 의 전개식에서 $x ^{n - 1}$ 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 $( a , n )$ 에 대하여 $an$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $a$ 는 자연수이고, $n$ 은 $n \geq 2$ 인 자연수이다.) [4점]

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12

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해설

$2 ( x + a ) ^{n}$ 의 전개식에서 $x ^{n-1}$ 의 계수는 $2 _{n} C _{1} a ^{1} = 2 an$ $( x - 1 ) ( x + a ) ^{n}$ $= x ( x + a ) ^{n} - ( x + a ) ^{n}$ 의 전개식에서 $x ^{n-1}$ 의 계수는 $\displaystyle {}_{n} C _{2} a ^{2} - an = \frac{n ( n - 1 )}{2} a ^{2} - an$ 이 때, $\displaystyle 2 a n = \frac{n ( n - 1 )}{2} a ^{2} - an$ 즉, $\displaystyle 3 a n = \frac{n ( n - 1 )}{2} a ^{2}$ 이어야 하므로 $\displaystyle 3 = \frac{n - 1}{2} a$ $\therefore a ( n - 1 ) = 6$ ㉠을 만족하는 모든 경우는 다음과 같다.

$a$	$n - 1$	$n$	$an$
$1$	$6$	$7$	$7$
$2$	$3$	$4$	$8$
$3$	$2$	$3$	$9$
$6$	$1$	$2$	$12$

따라서 구하는 $an$ 의 최댓값은 $12$ 이다.

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