확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수 제곱 가중합

문제

다음은 nn이 22 이상의 자연수일 때 ∑k=1nk(nCk)2\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} k ( _{n} C _{k} ) ^{2} 의 값을 구하는 과정이다. [증명]

두 다항식의 곱 (a0+a1x+⋯+an−1xn−1)(b0+b1x+⋯+bnxn)( a _{0} + a _{1} x + \cdots + a _{n-1} x ^{n-1} ) ( b _{0} + b _{1} x + \cdots + b _{n} x ^{n} )에서 xn−1x ^{n-1}의 계수는 a0bn−1+a1bn−2+⋯+an−1b0a _{0} b _{n-1} + a _{1} b _{n-2} + \cdots + a _{n-1} b _{0}⋯⋯(∗)\cdots \cdots ( * )이다. 등식 (1+x)2n−1=(1+x)n−1(1+x)n( 1 + x ) ^{2n-1} = ( 1 + x ) ^{n-1} ( 1 + x ) ^{n}의 좌변에서 xn−1x ^{n-1}의 계수는 (가) 이고, (∗)( * )을 이용하여 우변에서 xn−1x ^{n-1}의 계수를 구하면 ∑k=1n(n−1Ck−1×\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} ( _{n-1} C _{k-1} \times(나) )이다. 따라서 (가) =∑k=1n(n−1Ck−1×\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{n} ( _{n-1} C _{k-1} \times(나) ) 이다. 한편 1≤k≤n1 \leq k \leq n일 때, k×nCk=n×n−1Ck−1k \times _{n} C _{k} = n \times _{n-1} C _{k-1}이므로 ∑k=1nk(nCk)2\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} k ( _{n} C _{k} ) ^{2}=∑k=1n(n×n−1Ck−1×\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{n} ( n \times _{n-1} C _{k-1} \times(나) ) =n×∑k=1n(n−1Ck−1×\displaystyle = n \times \sum\limits _{k=1} ^{n} ( _{n-1} C _{k-1} \times(나) ) ==(다) 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①2nCn{}_{2n} C _{n} nCn−k+1{}_{n} C _{n-k+1} n2×2nCn+1\displaystyle \frac{n}{2} \times _{2n} C _{n+1}②2n−1Cn−1{}_{2n-1} C _{n-1} nCn−k+1{}_{n} C _{n-k+1} n2×2nCn\displaystyle \frac{n}{2} \times _{2n} C _{n}③2n−1Cn−1{}_{2n-1} C _{n-1} nCn−k{}_{n} C _{n-k} n2×2nCn\displaystyle \frac{n}{2} \times _{2n} C _{n}④2nCn{}_{2n} C _{n} nCn−k+1{}_{n} C _{n-k+1} n×2nCn+1n \times _{2n} C _{n+1}⑤2n−1Cn−1{}_{2n-1} C _{n-1} nCn−k{}_{n} C _{n-k} n×2nCnn \times _{2n} C _{n}

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③

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해설

(1+x)2n−1\left( 1 + x \right) ^{2 n - 1}에서 xn−1x ^{n - 1}의 계수는 2n−1Cn−1{} _{2 n - 1} C _{n - 1} 이고 (1+x)n−1(1+x)n\left( 1 + x \right) ^{n - 1} \left( 1 + x \right) ^{n}을 이용하여 xn−1x ^{n - 1}의 계수를 구하면 ∑k=1n(n−1Ck−1×□nCn−k)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( {} _{n - 1} C _{k - 1} \times \square {{}_{n} C _{n - k}} \right)이다. 따라서 2n−1Cn−1=∑k=1n(nCk−1×nCn−k)\displaystyle {} _{2 n - 1} C _{n - 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( {} _{n} C _{k - 1} \times _{n} C _{n - k} \right)이다. 한편, 1≤k≤n1 \leq k \leq n일 때, k×nCk=n×n−1Cn−kk \times _{n} C _{k} = n \times _{n - 1} C _{n - k} 이므로 ∑k=1nk(nCk)2=∑k=1n(n×n−1Ck−1×nCn−k)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \left( {} _{n} C _{k} \right) ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( n \times _{n - 1} C _{k - 1} \times _{n} C _{n - k} \right) =n×∑k=1n(n−1Ck−1×nCn−k)\displaystyle = n \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( {} _{n - 1} C _{k - 1} \times _{n} C _{n - k} \right)=n×2n−1Cn−1= n \times _{2 n - 1} C _{n - 1}=n2×2nCn\displaystyle = \frac{n}{2} \times _{2 n} C _{n} cf)c f ) 2n−1Cn−1=(2n−1)!(n−1)!n!=(2n−1)!(n−1)!n!×2nn×12\displaystyle {} _{2 n - 1} C _{n - 1} = \frac{\left( 2 n - 1 \right) !}{\left( n - 1 \right) ! n !} = \frac{\left( 2 n - 1 \right) !}{\left( n - 1 \right) ! n !} \times \frac{2 n}{n} \times \frac{1}{2} =12×(2n)!n!n!=12×2nCn\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\left( 2 n \right) !}{n ! n !} = \frac{1}{2} \times _{2 n} C _{n} 2n−1Cn−1=12×2nCn\displaystyle {} _{2 n - 1} C _{n - 1} = \frac{1}{2} \times _{2 n} C _{n}은 다음과 같이 설명할 수 있다. 집합 {1,2,3,⋅⋅⋅,2n}\left\{ 1 , 2 , 3 , \cdot \cdot \cdot , 2 n \right\}에서 nn개의 수를 뽑는 경우의 수는 2nCn{} _{2 n} C _{n}이다. 이것을 다음과 같이 나누어 구할 수 있다. ① 11을 반드시 포함하는 경우의 수는 11을 미리 뽑았으므로 나머지 (2n−1)\left( 2 n - 1 \right)개의 수에서 (n−1)\left( n - 1 \right)개의 수를 더 뽑으면 되기 때문에 2n−1Cn−1{} _{2 n - 1} C _{n - 1} ② 22를 포함해서 nn개의 수를 뽑는 경우의 수는 2n−1Cn−1{} _{2 n - 1} C _{n - 1} ③ 2n2 n을 포함해서 nn개싀 수를 뽑는 경우의 수는 2n−1Cn−1{} _{2 n - 1} C _{n - 1} 그런데 각각의 수는 모두 nn가지 경우에 중복되게 계산되었으므로 위 경우의 수의 합은 2n−1Cn−1×2n×1n\displaystyle {} _{2 n - 1} C _{n - 1} \times 2 n \times \frac{1}{n} 이것이 2nCn{} _{2 n} C _{n}과 같아야 하므로 2n−1Cn−1×2=2nCn{} _{2 n - 1} C _{n - 1} \times 2 = _{2 n} C _{n} ∴ 2n−1Cn−1=12×2nCn\displaystyle {} _{2 n - 1} C _{n - 1} = \frac{1}{2} \times _{2 n} C _{n}

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