확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수 합과 탄젠트

문제

실수 $x$ 에 대한 함수 $f ( x )$ 가 $f ( x ) = _{6} C _{0} + _{6} C _{1} x ^{2} + _{6} C _{2} x ^{4} + _{6} C _{3} x ^{6} + _{6} C _{4} x ^{8}$ $+ _{6} C _{5} x ^{10} + _{6} C _{6} x ^{12}$ 와 같이 정의될 때, $f ( \tan \theta ) = 2 ^{12}$ 을 만족하는 $\theta$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{36 \theta}{\pi}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ) [4점]

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12

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해설

$\begin{aligned} f ( x ) & = ( 1 + x ^{2} ) ^{6} = _{6} \mathrm{C} _{0} + _{6} \mathrm{C} _{1} x ^{2} + _{6} \mathrm{C} _{2} x ^{4} + \cdots + _{6} \mathrm{C} _{6} x ^{12} \end{aligned}$ $f ( \tan \theta ) = ( 1 + \tan ^{2} \theta ) ^{6} = \sec ^{2} \theta = 2 ^{12}$ 에서 $\displaystyle \sec \theta = 2 \leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{2} \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$ 이므로 $\displaystyle \therefore \frac{36 \theta}{\pi} = 12$

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