이항계수 합 3의 배수

$\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} {}_{n} C _{k} = _{n} C _{1} + _{n} C _{2} + \cdots + _{n} C _{n}$$= 2 ^{n-1}$ $( \because 2 ^{n} = _{n} C _{0} + _{n} C _{1} + _{n} C _{2} + \cdots + _{n} C _{n} )$ $2 ^{n} - 1$이 $3$의 배수이므로 $n = 2 , 4 , 6 , 8 , \cdots \cdots , 50$일 때이다. $\therefore n$의 개수는 $25$개이다.