확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수 교대합

문제

다음은 ∑r=029(−1)59rC2r\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r}의 값을 구하는 과정이다.

∑r=029(−1)59rC2r\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r}=59C0\mathrm{=} _{59} C _{0}−59C2\mathrm{-} _{59} C _{2}+59C4−⋯\mathrm{+} _{59} C _{4} - \cdots−59C58\mathrm{-} _{59} C _{58}이므로 (1+x)59=( 1 + x ) ^{59} =59C0\mathrm{_{59}} C _{0}+59C1x+ _{59} {\mathrm{C}} _{1} x+59C2x2+⋯+ _{59} {\mathrm{C}} _{2} x ^{2} + \cdots+59C59x59+ _{59} {\mathrm{C}} _{59} x ^{59}을 이용하면 (1+i)59=( 1 + i ) ^{59} =∑r=029(−1)r59C2r\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} {} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r} +(+ \left( \right.(가) )i) i 이다. 한편, (1+i)59={(1+i)2}29×(1+i)( 1 + i ) ^{59} = \left\{ ( 1 + i ) ^{2} \right\} ^{29} \times ( 1 + i ) == (나) ++2292 ^{29}ii 이므로 ∑r=029(−1)59rC2r\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r}의 값은 (나) 이다.

(가), (나)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이다.) [3점]

(가)(나)
①∑r=029(−1)59rC2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1} 2292 ^{29}
②∑r=029(−1)59rC2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1}−229- 2 ^{29}
③∑r=029(−1)59r+1C2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r + 1} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1} 2292 ^{29}
④∑r=029(−1)59r+1C2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r + 1} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1}−229- 2 ^{29}
⑤∑r=028(−1)59r+1C2r+3\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{28} ( - 1 ) ^{r + 1} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 3} 2292 ^{29}
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②

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해설

[출제의도] 이항정리를 이용한 식의 값 추론하기 (1+x)59=( 1 + x ) ^{59} =59C0{}_{59} {\mathrm{C}} _{0}+59C1x+ _{59} {\mathrm{C}} _{1} x+⋯+ \cdots+59C59x59+ _{59} {\mathrm{C}} _{59} x ^{59} 이고, 양변에 xx대신 ii를 대입하면, (1+i)59( 1 + i ) ^{59} =(59C0−59C2+59C4−⋯−59C58)= \left( {}_{59} {\mathrm{C}} _{0} - _{59} {\mathrm{C}} _{2} + _{59} {\mathrm{C}} _{4} - \cdots - _{59} {\mathrm{C}} _{58} \right) +(59C1−59C3+59C5−⋯−59C59)i+ \left( {}_{59} {\mathrm{C}} _{1} - _{59} {\mathrm{C}} _{3} + _{59} {\mathrm{C}} _{5} - \cdots - _{59} {\mathrm{C}} _{59} \right) i =∑r=029(−1)59rC2r\displaystyle = \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2 r}}}++∑r=029(−1)59rC2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1}ii 한편, (1+i)59={(1+i)2}29×(1+i)( 1 + i ) ^{59} = \left\{ ( 1 + i ) ^{2} \right\} ^{29} \times ( 1 + i )=(2i)29(1+i)=−229+229i= ( 2 i ) ^{29} ( 1 + i ) = - 2 ^{29} + 2 ^{29} i ∴(가)∑r=029(−1)59rC2r+1\displaystyle \sum\limits _{r = 0} ^{29} ( - 1 ) ^{r} _{59} {\mathrm{C}} _{2 r + 1}, (나)−229- 2 ^{29}

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#이항계수#복소수

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