확률과 통계이항정리수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이항계수 부등식 빈칸

문제

다음은 부등식 ∑k=1n{2k×(nCk)2}≥10×2nCn+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ 2 k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} \geq 10 \times _{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} 을 만족시키는 자연수 nn의 최솟값을 구하는 과정이다.

(1+x)2n\left( 1 + x \right) ^{2 n}의 전개식에서 xnx ^{n}의 계수는 □(가){\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}}이다. (1+x)n(1+x)n\left( 1 + x \right) ^{n} \left( 1 + x \right) ^{n}의 전개식에서 xnx ^{n}의 계수는 ∑k=0n(nCk×nCn−k)\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - k}}} \right)==∑k=0n(nCk)2\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} 이다. 그러므로 ∑k=1n{2k×(nCk)2}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ 2 k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} =∑k=1n{k×(nCk)2}+∑k=1n{k×(nCn−k)2}\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} + \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - k}}} \right) ^{2} \right\} ={(nC1)2+2×(nC2)2+⋯+n×(nCn)2}= \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \right) ^{2} + 2 \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{2} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n} \right) ^{2} \right\} +{(nCn−1)2+2×(nCn−2)2+⋯+n×(nC0)2}+ \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - 1}}} \right) ^{2} + 2 \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n - 2} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{0} \right) ^{2} \right\} =□(나)×{(nC0)2+(nC1)2+⋯+(nCn)2}= {\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}} \times \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} \right) ^{2} + \left( {}_{n} \mathrm{C} _{1} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n} \right) ^{2} \right\} =□(나)×□(가)= {\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}} \times {\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}} 이다. 따라서 부등식 ∑k=1n{2k×(nCk)2}≥10×2nCn+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ 2 k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} \geq 10 \times _{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}을 만족시키는 자연수 nn의 최솟값은 □(다){\square {{}^{} ( \text{다} ) ^{}}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 하고, (다)에 알맞은 수를 pp라 할 때, f(3)+g(3)+pf ( 3 ) + g ( 3 ) + p의 값은? [4점] ①3232②3434③3636④3838⑤4040

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①

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해설

[출제의도] 이항정리를 이용하여 부등식의 해결 과정을 완성한다. (1+x)2n( 1 + x ) ^{2 n}의 전개식에서 xnx ^{n}의 계수는 □2nCn\square {{}_{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}}}이다. (1+x)n(1+x)n( 1 + x ) ^{n} ( 1 + x ) ^{n}의 전개식에서 xnx ^{n}의 계수는 ∑k=0n(nCk×nCn−k)\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - k}}} \right)==∑k=0n(nCk)2\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2}이므로 ∑k=0n(nCk)2\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2}=2nCn= _{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}}이 성립한다. 그러므로 ∑k=1n{2k×(nCk)2}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ 2 k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} =∑k=1n{k×(nCk)2}+∑k=1n{k×(nCn−k)2}\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} + \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - k}}} \right) ^{2} \right\} ={(nC1)2+2×(nC2)2+⋯+n×(nCn)2}= \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \right) ^{2} + 2 \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{2} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n} \right) ^{2} \right\} +{(nCn−1)2+2×(nCn−2)2+⋯+n×(nC0)2}+ \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - 1}}} \right) ^{2} + 2 \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n - 2} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{0} \right) ^{2} \right\} ={(nC1)2+2×(nC2)2+⋯+n×(nCn)2}= \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \right) ^{2} + 2 \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{2} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n} \right) ^{2} \right\} +{n×(nC0)2+(n−1)×(nC1)2+⋯+(nCn−1)2}+ \left\{ n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} \right) ^{2} + ( n - 1 ) \times \left( {}_{n} \mathrm{C} _{1} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n - 1} \right) ^{2} \right\} =n×(nC0)2+n×(nC1)2+⋯+n×(nCn)2= n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} \right) ^{2} + n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} n \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}} \right) ^{2} =□n×{(nC0)2+(nC1)2+⋯+(nCn)2}= {\square {n}} \times \left\{ \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} \right) ^{2} + \left( {}_{n} \mathrm{C} _{1} \right) ^{2} + \mathit{\cdots} \mathit{+} \left( {}_{n} \mathrm{C} _{n} \right) ^{2} \right\} =□n×□2nCn= \square {n} \times \square {{}_{2 n} \mathrm{C} \mathit{_{n}}} 이다. 한편 ∑k=1n{2k×(nCk)2}≥10×2nCn+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ 2 k \times \left( {}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} \right) ^{2} \right\} \geq 10 \times _{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} n×2nCnn \times _{2n} {\mathrm{C}} _{n}≥10×2nCn+1\geq 10 \times _{2 n} {\mathrm{C}} _{n+1} n×(2n)!n!×n!≥10×(2n)!(n+1)!×(n−1)!\displaystyle n \times \frac{\left( 2 n \right) !}{n ! \times n !} \geq 10 \times \frac{\left( 2 n \right) !}{( n + 1 ) ! \times ( n - 1 ) !} n×1n≥10×1n+1\displaystyle n \times \frac{1}{n} \geq 10 \times \frac{1}{n + 1} n+1≥10n + 1 \geq 10 n≥9n \geq 9 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 nn의 최솟값은 □9\square {9}이다. f(n)=2nCnf ( n ) = _{2n} {\mathrm{C}} _{n}, g(n)=ng ( n ) = n, p=9p = 9이므로 f(3)+g(3)+pf ( 3 ) + g ( 3 ) + p=6C3+3+9= _{6} \mathrm{C} \mathit{_{3}} + 3 + 9 =20+3+9= 20 + 3 + 9 =32= 32

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