이항분포와 시그마

$10$이하의 음이 아닌 정수를 확률변수 $X$라 하면 $\displaystyle f ( r ) = _{10} \mathrm{C} _{\mathit{r}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} = \mathrm{P} \mathit{(} X = r )$이므로 확률변수 $X$는 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 10 , \frac{1}{2} \right)$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$, $\displaystyle \mathrm{V} \mathit{(} X ) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ∴$\displaystyle \begin{aligned} 2 \sum\limits _{r = 0} ^{10} r ^{2} f ( r ) & = 2 \mathrm{E} \left( \mathit{X} ^{2} \right) = 2 \left[ \mathrm{V} \mathit{(} X ) + \left\{ \mathrm{E} \mathit{(} X ) \right\} ^{2} \right] = 55 \end{aligned}$