확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포와 이항정리 합

문제

사건 $A$ 가 $1$ 회의 시행에서 일어날 확률이 $p$ 일 때, $n$ 회의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$ 라 하자. 확률변수 $X$ 의 평균이 $80$ 이고 분산이 $64$ 라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{{r} = 0 ^{}} ^{n _{}} 5 ^{r} \mathrm{P} ( X = r )$ 의 값은? (단, $\mathrm{P} ( X = r )$ 은 $X = r$ 일 때의 확률이다.) [3점] ① $\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right) ^{400}$ ② $\displaystyle \left( \frac{7}{5} \right) ^{450}$ ③ $\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right) ^{399}$ ④ $2 ^{399}$ ⑤ $2 ^{400}$

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①

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해설

$m = n p = 80$ -----① $\sigma ^{2} = n p ( 1 - p ) = 64$ ----- ② [$\text{ ②} \div \text{ ①} $] :$ 1 - p = \frac{64}{80} = \frac{4}{5}$ $\therefore$ $\displaystyle p = \frac{1}{5}$ , $n = 400$ ( $\because$ $\text{ ①}$) $\displaystyle \sum\limits _{{r} = 0 ^{}} ^{n _{}} 5 ^{r} \mathrm{P} ( X = r ) = \sum\limits _{{r} = 0 ^{}} ^{400 _{}} \left\{ 5 ^{r} _{n} C _{r} ( \frac{1}{5} ) ^{r} ( \frac{4}{5} ) ^{n - r} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{{r} = 0 ^{}} ^{400 _{}} \left\{ {}_{n} C _{r} ( \frac{5}{5} ) ^{r} ( \frac{4}{5} ) ^{n - r} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{{r} = 0 ^{}} ^{400 _{}} \left\{ {}_{n} C _{r} ( \frac{4}{5} ) ^{n - r} \right\}$ $\displaystyle = ( 1 + \frac{4}{5} ) ^{400} = ( \frac{9}{5} ) ^{400}$

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