이항분포의 정규근사

[출제의도] 이항분포에서의 확률을 정규분포에서의 확률을 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\mathrm{i} )$ 한 번의 시행에서 5가 쓰여 있는 카드가 한 번도 나오지 않으면 세 수의 합이 9이하이고, 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{5} {\mathrm{C}} _{3}}{{}_{10} \mathrm{C} _{3}} = \frac{1}{12}$ $\mathrm{ii} )$ $5$가 쓰여 있는 카드가 한 번 나오면, $2$가 쓰여 있는 카드가 $2$번 나올 때만 세 수의 합이 $9$이하이고, 이때의 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2} \mathrm{C} _{2} \times _{5} C _{1}}{{}_{10} \mathrm{C} _{3}} = \frac{1}{24}$ 따라서, 한 번의 시행에서 세 숫자의 합이 $9$이하일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$ 한편, 세 숫자의 합을 확률변수 $X$ 로 하는 확률분포는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 448 , \frac{1}{8} \right)$을 따른다. 그러므로 $X$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N} \left( 56 , 7 ^{2} \right)$을 따른다. 따라서 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{(} 49 \leq X \leq 70 )$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{49 - 56}{7} \leq Z \leq \frac{70 - 56}{7} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{(} - 1 \leq Z \leq 2 )$$= 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$