이항분포의 정규분포 근사

한 번의 시행에서 기록한 수가 $3$일 확률을 $p$라 하자. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $a$ 이하일 확률은 $\displaystyle \frac{a}{6}$이고, 이 경우 동전을 $5$번 던져 앞면이 $3$번 나올 확률은 $\displaystyle \frac{\mathit{a}}{6} \times _{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{\mathit{a}}{6} \times 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5 a}{96}$ 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $a$보다 클 확률은 $\displaystyle \frac{6 - a}{6}$이고, 이 경우 동전을 $3$번 던져 앞면이 $3$번 나올 확률은 $\displaystyle \frac{6 - a}{6} \times \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{0} \mathit{=} \frac{6 - a}{6} \times 1 \times \frac{1}{8} = \frac{6 - a}{48}$ $\therefore$ $p$$\displaystyle = \frac{5 a}{96} + \frac{6 - a}{48}$$\displaystyle = \frac{3 a + 12}{96}$$\displaystyle = \frac{a + 4}{32}$ 확률변수 $X$는 이항분포 ${\mathrm{B}} \left( 19200 , p \right)$를 따른다. $\displaystyle {\mathrm{E}} \left( X \right) = 19200 \times p = 19200 \times \frac{a + 4}{32} = 600 \left( a + 4 \right)$ ${\mathrm{E}} \left( X \right) = 4800$이므로 $600 \left( a + 4 \right) = 4800$, $a + 4 = 8$ $\therefore$ $a = 4$ $\therefore$ $p$$\displaystyle = \frac{4 + 4}{32}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ 이때 $\displaystyle {\mathrm{V}} \left( X \right) = 19200 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 3600 = 60 ^{2}$ 이고 시행 횟수 $n = 19200$은 충분히 크므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 4800 , 60 ^{2} \right)$을 따른다. $\displaystyle Z = \frac{X - 4800}{60}$이라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 0 , 1 ^{2} \right)}$을 따르므로 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} \left( X \leq 4800 + 30 a \right)$$= {\mathrm{P}} \left( X \leq 4920 \right)$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \leq \frac{4920 - 4800}{60} \right)$ $= {\mathrm{P}} \left( Z \leq 2 \right)$ $= {\mathrm{P}} \left( Z \leq 0 \right) + {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 2 \right)$ $= 0.5 + 0.477$ $= 0.977$ 따라서 $k = 0.977$이므로 $1000 k = 1000 \times 0.977 = 977$