확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항분포 평균 증명

문제

다음은 이항분포 B(n,p)\mathrm{B} ( \mathit{n} , p )를 이루는 확률변수 X\mathit{X}에 대하여 E(X)=np\mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \mathit{np}임을 증명한 것이다.

<증명> E(X)=∑r=0n□(가)⋅nCrprqn−r\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \sum\limits _{r = 0} ^{n} \square {( \text{가} )} \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{r}}} p ^{r} q ^{n - r}(단, q=1−pq = 1 - p) =1⋅nC1pqn−1+2⋅nC2p2qn−2+⋯= 1 \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} p q ^{n - 1} + 2 \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} p ^{2} q ^{n - 2} + \cdots +r⋅nCrprqn−r+⋯+n⋅nCnpn+ r \cdot _{n} {\mathrm{C}} \mathit{_{r}} p ^{r} q ^{n - r} + \cdots + n \cdot _{n} {\mathrm{C}} \mathit{_{n}} p ^{n}에서 r⋅nCr=r⋅n!(n−r)!r!=n!(n−r)!(r−1)!=□(나)\displaystyle r \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{_{r}} = r \cdot \frac{n !}{( n - r ) ! r !} = \frac{n !}{( n - r ) ! ( r - 1 ) !} = \square {( \text{나} )} 이므로 n⋅n−1C0pqn−1+n⋅n−1C1p2qn−2+⋯n \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} {\mathit{_{0}} pq ^{n - 1}} + n \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} {\mathit{_{1}} p ^{2} q ^{n - 2}} + \cdots +n⋅n−1Cr−1prqn−r+⋯+n⋅n−1Cn−1pn+ n \cdot _{n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{r - 1}}} p ^{r} q ^{n - r} + \cdots + n \cdot _{n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - 1}}} p ^{n} == □(다)(n−1C0qn−1+n−1C1pqn−2+⋯ \square {( \text{다} )} \left( {}_{n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} q ^{n - 1} + _{n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} pq ^{n - 2} + \cdots \right. +n−1Cr−1pr−1qn−r+⋯+n−1Cn−1pn−1)\left. + _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{r - 1}}} p ^{r - 1} q ^{n - r} + \cdots + _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{n - 1}}} p ^{n - 1} \right) =np(q+p)n−1=np= np ( q + p ) ^{n - 1} = np

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①rr n⋅n−1Crn \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{r}} npqnpq②r2r ^{2} n⋅nCr−1n \cdot _{n} {\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{r - 1}}} npnp③rr (n−1)⋅n−1Cr−1( n - 1 ) \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{r - 1}} npnp④r2r ^{2} n⋅n−1Cr−1n \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{r - 1}} npqnpq⑤rr n⋅n−1Cr−1n \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{r - 1}} npnp

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⑤

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해설

E(X)=∑r=0n(r)⋅nCrprqn−r\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = \sum\limits _{r = 0} ^{n} \left( r \right) \cdot _{n} \mathrm{C} \mathit{_{r}} p ^{r} q ^{n - r} --- (가) r⋅n!(n−r)!r!=n!(n−r)!(r−1)!\displaystyle r \cdot \frac{n !}{( n - r ) ! r !} = \frac{n !}{( n - r ) ! ( r - 1 ) !}=n⋅(n−1)!(n−r)!(r−1)!\displaystyle = n \cdot \frac{( n - 1 ) !}{( n - r ) ! ( r - 1 ) !} ==n⋅n−1Cr−1n \cdot _{n - 1} {\mathrm{C}} _{r - 1} --- (나)

(다)

=np= np

태그

#이항분포#빈칸추론

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