확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포 정규근사

문제

수직선 위의 원점에 위치한 점 A\mathrm{A}가 있다. 주사위 11개를 던질 때 33의 배수의 눈이 나오면 점 A\mathrm{A}를 양의 방향으로 33만큼 이동하고, 그 이외의 눈이 나오면 점 A\mathrm{A}를 음의 방향으로 22만큼 이동하는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 7272회 반복할 때, 점 A\mathrm{A}의 좌표를 확률변수 XX라 하자. 확률 P(X≥11){\mathrm{P}} ( X \geq 11 )의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

zzP(0≤Z≤z)\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq z )
1.001.00 1.251.25 1.501.50 1.751.75 2.002.000.34130.3413 0.39440.3944 0.43320.4332 0.45990.4599 0.47720.4772

①0.02280.0228②0.04010.0401③0.06680.0668④0.10560.1056⑤0.15870.1587

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②

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해설

7272회의 시행 중 33의 배수의 눈이 나온 횟수를 YY라 하면 그 외의 눈이 나오는 횟수는 72−Y72 - Y이므로 X=3Y−2(72−Y)=5Y−144X = 3 Y - 2 ( 72 - Y ) = 5 Y - 144이다. X≥11X \geq 11에서 5Y−144≥115 Y - 144 \geq 11 ∴ Y≥31Y \geq 31 확률변수 YY는 이항분포 B(72,13)\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 72 , \frac{1}{3} \right)를 따른다. E(Y){\mathrm{E}} ( Y )=72×13=24\displaystyle = 72 \times \frac{1}{3} = 24, V(Y){\mathrm{V}} ( Y )=72×13×23=42\displaystyle = 72 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 4 ^{2}이고 7272는 충분히 큰 수이므로 확률변수 YY는 근사적으로 정규분포 N(24,42){\mathrm{N}} ( 24 , 4 ^{2} )을 따른다. ∴ P(X≥11){\mathrm{P}} ( X \geq 11 )=P(Y≥31)= {\mathrm{P}} ( Y \geq 31 ) =P(Z≥31−244)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \geq \frac{31 - 24}{4} \right) =P(Z≥1.75)= {\mathrm{P}} ( Z \geq 1.75 ) =0.5−P(0≤Z≤1.75)= 0.5 - {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.75 ) =0.5−0.4599= 0.5 - 0.4599 =0.0401= 0.0401

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