이항분포 정규근사

확률변수 $X$의 확률질량함수는 ${\mathrm{P}} \left( X = x \right)$$\displaystyle = \mathit{_{625}} {\mathrm{C}} \mathit{_{x}} \times \frac{4 ^{625}}{4 ^{x} \times 5 ^{625}}$ $\displaystyle = \mathit{_{625}} {\mathrm{C}} \mathit{_{x}} \times \frac{4 ^{625 - x}}{5 ^{625}}$ $\displaystyle = \mathit{_{625}} {\mathrm{C}} \mathit{_{x}} \left( \frac{1}{5} \right) ^{x} \left( \frac{4}{5} \right) ^{625 - x}$ 이므로 확률변수 $X$는 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 625 , \frac{1}{5} \right)$을 따른다. $\displaystyle {\mathrm{E}} \left( X \right) = 625 \times \frac{1}{5} = 125$, $\displaystyle {\mathrm{V}} \left( X \right) = 625 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 100$ 이때 $625$는 충분히 큰 수이므로 $X$는 근사적으로 정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 125 , 10 ^{2} \right)$을 따른다. 따라서 $\displaystyle Z = \frac{X - 125}{10}$로 놓으면 $Z$는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 0 , 1 \right)$을 따르므로 ${\mathrm{P}} \left( X \leq 100 \right)$$\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \leq \frac{100 - 125}{10} \right)$ $= {\mathrm{P}} \left( Z \leq - 2.5 \right)$ $= 0.5 - {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq 2.5 \right)$ $= 0.5 - 0.494$ $= 0.006$