확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항분포 정규근사

문제

각 면에 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자 $2$ 개를 동시에 던졌을 때 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 눈의 수의 곱이 홀수인 사건을 $A$ 라 하자. 이 시행을 $1200$ 번 하였을 때 사건 $A$ 가 일어나는 횟수가 $270$ 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $p$ 라 하자. $1000 p$ 의 값을 구하시오. [3점]

$z$	${\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq z )$
$1.0$	$0.341$
$1.5$	$0.433$
$2.0$	$0.477$
$2.5$	$0.494$

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해설

사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$ 라 하면 $X$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 1200 , \frac{1}{4} \right)$ 을 따르므로 $\mathrm{E} \mathit{(} X ) = 300$ , $\mathrm{V} \mathit{(} X ) = 225$ 이때 시행횟수가 충분히 크므로 $X$ 는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N} \left( 300 , 15 ^{2} \right)$ 을 따른다. $p =$ $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 270 \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{(} Z \leq - 2 ) = 0.023$ ∴ $1000 p = 23$

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