확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포 정규근사

문제

$\displaystyle \sum\limits _{k = 351} ^{369} {}_{400} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{k}}}} \left( \frac{9}{10} \right) ^{k} \left( \frac{1}{10} \right) ^{400 - k}$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

$z$	$\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq z )$
$0.5$ $1.0$ $1.5$ $2.0$	$0.1915$ $0.3413$ $0.4332$ $0.4772$

< 표준정규분포표 >

$z$	$\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq z )$
$0.5$ $1.0$ $1.5$ $2.0$	$0.1915$ $0.3413$ $0.4332$ $0.4772$

① $0.1587$ ② $0.3085$ ③ $0.6826$ ④ $0.8664$ ⑤ $0.9544$

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④

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해설

[출제의도] 이항분포와 정규분포의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 351} ^{369} {}_{400} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{k}}}} \left( \frac{9}{10} \right) ^{\mathit{k}} \left( \frac{1}{10} \right) ^{400 - \mathit{k}}$ 의 값은 확률변수 $X$ 가 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 400 , \frac{9}{10} \right)$ 를 따를 때 확률 $\mathrm{P} \mathit{(} 351 \leq X \leq 369 )$ 와 같다. $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = 400 \cdot \frac{9}{10} = 360 , \mathrm{V} \mathit{(} X ) = 400 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} = 36$ 이고, 시행 횟수 $400$ 이 충분히 크므로 확률변수 $X$ 는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N} ( 360 , 6 ^{2} )$ 을 따른다. $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} 351 \leq X \leq 369 ) = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{351 - 360}{6} \leq Z \leq \frac{369 - 360}{6} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( - 1 . 5 \leq Z \leq 1.5 \right)}$ $= 2 \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right)}$ $= 2 0.4332$ $= 0.8664$

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