확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포 제곱 평균

문제

확률변수 XX가 이항분포 B(25,p){\mathrm{B}} ( 25 , p )를 따르고 P(X=2)=48P(X=1)\mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) = 48 {\mathrm{P}} ( X = 1 )이다. 확률변수 XX에 대하여 X2X ^{2}의 평균을 구하시오. (단, p≠0p \ne 0) [4점]

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404404

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해설

이항분포를 따르는 확률변수XX의 확률질량함수는 P(X=x)=nCxpx(1−p)n−x\mathrm{P} \mathit{(} X = x ) = _{n} \mathrm{C} \mathit{_{x}} p ^{x} ( 1 - p ) ^{n - x} P(X=2)=48×P(X=1)\mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) \mathit{=} 48 \times \mathrm{P} \mathit{(} X = 1 ) 25C2p2(1−p)23=48×25C1p(1−p)24{} _{25} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} p ^{2} ( 1 - p ) ^{23} = 48 \times _{25} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} p ( 1 - p ) ^{24} p=45\displaystyle p = \frac{4}{5} E(X)=np=20\mathrm{E} \mathit{(} X ) = {np} = 20, V(X)=np(1−p)=4\mathrm{V} \mathit{(} X ) = {np ( 1 - p )} = 4이므로 V(X)=E(X2)−{E(X)}2\mathrm{V} \mathit{(} X ) = \mathrm{E} \mathit{(} X ^{2} ) - \left\{ \mathrm{E} \mathit{(} X ) \right\} ^{2} ∴\thereforeE(X2)=404\mathrm{E} \mathit{(} X ^{2} ) = 404

태그

#이항분포#분산

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