확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포 제곱 기댓값

문제

어느 배구선수의 공격이 성공하는 횟수를 확률변수 XX라 하면, nn번 공격했을 때 kk번 성공할 확률은 다음과 같다. P(X=k)=nCk(12)n\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) = _{n} {\mathrm{C}} _{k} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} 이 때, ∑k=0n(k+1)2⋅P(X=k)=451\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} ( k + 1 ) ^{2} \cdot \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) = 451을 만족하는 nn의 값을 구하시오. [4점]

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4040

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해설

[출제의도] 이항분포의 평균과 분산을 이용한 수학내적 문제해결하기 확률변수XX는 B(n,p){\mathrm{B}} ( n , p )인 이항분포를 따르므로 E(X)=n2\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = \frac{n}{2}, V(X)=E(X2)−{E(X)}2=n4\displaystyle \mathrm{V} ( \mathit{X} ) = \mathrm{E} \mathit{(} \mathit{X} ^{2} ) - \left\{ {\mathrm{E}} ( \mathit{X} ) \right\} ^{2} = \frac{n}{4} ∑k=0n(k+1)2⋅P(X=k)\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} ( k + 1 ) ^{2} \cdot \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) =∑k=0n(k2+2k+1)⋅P(X=k)\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{n} ( k ^{2} + 2 k + 1 ) \cdot \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) =E(X2)+2E(X)+1=451\mathrm{=} E \mathit{(} X ^{2} ) + 2 \mathrm{E} \mathit{(} X ^{} ) + 1 = 451 따라서 n=40n = 40

태그

#이항분포#분산과 기댓값

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