확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이항분포 확률 교대합

문제

여섯 면에 11부터 66까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 100100번 반복하여 던질 때, 33의 배수가 kk번 나올 확률을 P(k){\mathrm{P}} ( k )라 하자. ∑k=150{P(2k−1)−P(2k)}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{50} \left\{ \mathrm{P} \mathit{(} 2 k - 1 ) - \mathrm{P} \mathit{(} 2 k ) \right\}의 값은?‘가’형 [4점] ①(13)100\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{100}②(23)100−(13)100\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{100} - \left( \frac{1}{3} \right) ^{100}③(13)100−(23)100\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{100} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{100}④(23)50−(13)50\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{50} - \left( \frac{1}{3} \right) ^{50}⑤(13)50−(23)50\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{50} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{50}

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②

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해설

P(k)=100Ck(13)k(23)100−k\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{k} ) = _{100} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} ^{k} \left( \frac{2}{3} \right) ^{100 - k}(k=0,1,2,⋯ ,100)( k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 100 ) ∑k=150{P(2k−1)−P(2k)}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{50} \left\{ {\mathrm{P}} ( 2 k - 1 ) - {\mathrm{P}} ( 2 k ) \right\} ={P(1)−P(2)}+{P(3)−P(4)}+⋯+{P(99)−P(100)}= \mathrm{\left\{ P ( 1 ) - P ( 2 ) \right\}} + \left\{ P ( 3 ) - P ( 4 ) \right\} + \cdots + \left\{ P ( 99 ) - P ( 100 ) \right\} =100C1(13)(23)99−100C2(13)2(23)98+100C3(13)3(23)97\displaystyle = _{100} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} \left( \frac{2}{3} \right) ^{99} - _{100} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{98} + _{100} \mathrm{C} _{\mathit{3}} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} ^{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{97} −⋯+100C99(13)99(23)−100C100(13)100\displaystyle - \cdots + _{100} \mathrm{C} _{\mathit{99}} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} ^{99} \left( \frac{2}{3} \right) - _{100} \mathrm{C} _{100} \mathit{\left( \frac{1}{3} \right)} ^{100} =−(13−23)100+(23)100=(23)100−(13)100\displaystyle = - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right) ^{100} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{100} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{100} - \left( \frac{1}{3} \right) ^{100}

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