확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항분포 E(X^2)

문제

확률변수 $X$ 가 가지는 값이 $0$ 부터 $25$ 까지의 정수이고, $\displaystyle 0 < p < \frac{1}{2}$ 인 실수 $p$ 에 대하여 $X$ 의 확률질량함수는 $\mathrm{P} ( \mathit{X} = x ) = _{25} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{x}}}} \mathit{p} ^{\mathit{x}} ( 1 - p ) ^{25 - x}$ ( $x = 0$ , $1$ , $2$ , $\cdots$ , $25$ ) 이다. $\mathrm{V} ( \mathit{X} ) = 4$ 일 때, $\mathrm{E} \left( \mathit{X} ^{2} \right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

확률변수 $X$ 는 이항분포 B $\left( 25 , p ) \right.$ 를 따른다. $m = np = 25 p$ , $4 = np ( 1 - p ) = 25 p ( 1 - p )$ $\displaystyle p ( 1 - p ) = \frac{4}{25} = \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}$ , $\therefore$ $\displaystyle p = \frac{1}{5}$ $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ^{2} ) = \mathrm{V} \mathit{(} X ) + m ^{2} = 4 + \left( 25 \times \frac{1}{5} \right) ^{2}$ $= 4 + 5 ^{2} = 29$

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