확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

한 개의 동전을 2n+12 n + 1번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 XX라 하고, 한 개의 주사위를 2n+12 n + 1번 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 YY라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, nn은 자연수이다.) [4점] 〈 보 기 〉 ㄱ. n=1n = 1일 때, P(Y=2)=29\displaystyle P ( Y = 2 ) = \frac{2}{9}이다. ㄴ. 임의의 자연수 nn에 대하여 P(X=n)=P(X=n+1)P ( X = n ) = P ( X = n + 1 )이다. ㄷ. 임의의 자연수 nn에 대하여 P(X≤n)<P(Y≤n)P ( X \leq n ) < P ( Y \leq n )이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 이항분포의 확률질량함수 이해하기 ㄱ. n=1n = 1이면 2n+1=32 n + 1 = 3이므로 P(Y=2)=3C2(13)2(23)=29\displaystyle P ( Y = 2 ) = _{3} C _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{9}이다. (참) ㄴ. 확률변수 XX의 확률질량함수가 P(X=r)=2n+1Cr(12)2n+1\displaystyle P ( X = r ) = _{2 n + 1} C _{r} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n + 1} 2n+1Cn=2n+1Cn+1{} _{2 n + 1} C _{n} = _{2 n + 1} C _{n + 1}이므로 P(X=n)=P(X=n+1)P ( X = n ) = P ( X = n + 1 ) (참) ㄷ. 확률변수 XX의 확률질량함수가 P(X=r)=2n+1Cr(12)2n+1\displaystyle P ( X = r ) = _{2 n + 1} C _{r} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n + 1}이고 2n+1Cr=2n+1C2n+1−r{} _{2 n + 1} C _{r} = _{2 n + 1} C _{2 n + 1 - r}이므로 P(X≤n)=P(X≥n+1)P ( X \leq n ) = P ( X \geq n + 1 ) 따라서 P(X≤n)=0.5P ( X \leq n ) = 0.5이다. 그런데 확률변수 YY의 확률질량함수가 P(Y=r)=2n+1Cr(13)r(23)2n+1−r\displaystyle P ( Y = r ) = _{2 n + 1} C _{r} \left( \frac{1}{3} \right) ^{r} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2 n + 1 - r}이므로 k≤nk \leq n에서 P(Y=k)>P(Y=2n+1−k)P ( Y = k ) > P ( Y = 2 n + 1 - k ) 즉, P(Y≤n)>0.5P ( Y \leq n ) > 0.5이므로 P(X≤n)<P(Y≤n)P ( X \leq n ) < P ( Y \leq n )이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

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