미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이계도함수 값

문제

함수 f(x)=1x+3\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{x + 3}에 대하여 limh0f(a+h)f(a)h=2\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f' \left( a + h \right) - f' \left( a \right)}{h}} = 2를 만족시키는 실수 aa의 값은? [3점] 2- 21- 1001122

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해설

도함수의 정의에 의하여 limh0f(a+h)f(a)h=f(a)\displaystyle \lim\limits _{h\rightarrow 0} \frac{f' ( a + h ) - f' ( a )}{h} = f'' ( a )이다. f(x)=1x+3\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x + 3}를 미분하면 f(x)=1(x+3)2\displaystyle f' ( x ) = - \frac{1}{( x + 3 ) ^{2}} f(x)=2(x+3)3\displaystyle f'' ( x ) = \frac{2}{( x + 3 ) ^{3}} f(a)=2(a+3)3=2\displaystyle f'' ( a ) = \frac{2}{( a + 3 ) ^{3}} = 2 이므로 a+3=1a + 3 = 1 따라서 a=2a = - 2이다.

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