이어 붙인 수의 지표 가수

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $N _{15} = 1515 \cdots 15$는 $2 \times 15$자리의 수이므로 $\log N _{15}$의 지표는 $30 - 1 = 29$이다. ∴ $p ( 15 ) = 29$ (거짓) ㄴ. $q ( n ) = 0$이면 $\log N _{n} = p ( n )$(정수) 즉, $N _{n} = 10 ^{p ( n )}$이다. 한편, $q ( 1 ) = 0$이고, $n \ne 1$이면 $N _{n}$은 $10 ^{k}$의 꼴이 될 수 없다. 즉, $q ( n ) \ne 0$ 따라서 $n$은 $1$뿐이다. (참) ㄷ. $n = 10 ^{k}$은 $( k + 1 )$자리의 수이고 $N _{n}$은 $n ( k + 1 )$자리의 수이므로 $p ( n ) = nk + n - 1$ 이때 $n - 1 = 10 ^{k} - 1$은 $k$자리의 수이고 $N _{n - 1}$은 $( n - 1 ) k$자리의 수이므로 $p ( n - 1 ) = nk - k - 1$ ∴ $p ( n ) - p ( n - 1 ) = n + k$ (참)