이어 붙인 이차함수

$f \left( 3 \right) = g \left( 3 \right)$과 조건 (가)에 의하여 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$f \left( 0 \right) = b$ (단, $b$는 상수)라 하면 $f \left( x \right) = ax ^{2} + b$, $g \left( x \right) = a \left( x - 4 \right) \left( x - 12 \right) + b$ 조건 (나)에 의하여 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이차방정식 $f \left( x \right) = 2 x - 8$의 두 실근은 $\alpha$, $3$ $ax ^{2} - 2 x + b + 8 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha + 3 = \frac{2}{a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이차방정식 $g \left( x \right) = 2 x - 8$의 두 실근은 $3$, $\beta$ $ax ^{2} - \left( 16 a + 2 \right) x + 48 a + b + 8 = 0$ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle 3 + \beta = 16 + \frac{2}{a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $\displaystyle \alpha + \beta + 6 = 16 + \frac{4}{a}$, $a = - 1$ $a = - 1$, $x = 3$을 ㉠에 대입하면 $b = 7$ $f \left( x \right) = - x ^{2} + 7$, $g \left( x \right) = - x ^{2} + 16 x - 41$ 따라서 $h \left( - 2 \right) + h \left( 5 \right) = f \left( - 2 \right) + g \left( 5 \right) = 17$