이어 붙인 도형 경로

그림과 같이 직사각형에서 세로를 각각 이등분하는 점 $2$개를 연결하는 선분을 그린 그림을 $[ \text{그림} 1 ]$이라 하자. $[ \text{그림} 1 ]$을 $\displaystyle \frac{1}{2}$만큼 축소시킨 도형을 $[ \text{그림} 1 ]$의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을 $[ \text{그림} 2 ]$라 하자. 이와 같이 $3$이상의 자연수 $k$에 대하여 $[ \text{그림} 1 ]$을 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k-1}}$만큼 축소시킨 도형을 $[ \text{그림} k - 1 ]$의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을 $[ \text{그림} k ]$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $[ \text{그림} n ]$에서 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 $A _{n}$, 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 $B _{n}$이라 할 때, 점 $A _{n}$에서 점 $B _{n}$까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 $a _{n}$이라 하자. $a _{7}$의 값을 구하시오. [4점]