이동을 되풀이한 점의 좌표

이동을 두 번 하면 어떤 점이 되는지부터 본다. 점 $( s , t )$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동하면 $( t , s )$ 이고, 이를 $x$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동하면 $( t + 2 , s )$ 이다. 같은 이동을 한 번 더 하면 $( t + 2 , s ) \rightarrow ( s , t + 2 ) \rightarrow ( s + 2 , t + 2 )$ 즉, 점 $\mathrm{A} _{n + 2}$ 는 점 $\mathrm{A} _{n}$ 을 $x$ 축의 방향으로 $2$, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 점이다. $\mathrm{A} _{1}$ 에서 $\mathrm{A} _{25}$ 까지는 이 평행이동을 $12$ 번 한 것이므로 각 좌표가 $24$ 씩 커진다. $\mathrm{A} _{25} = ( 1 + 24 , 2 + 24 ) = ( 25 , 26 )$ 따라서 $p + q = 25 + 26 = 51$ [확인] $\mathrm{A} _{2} = ( 4 , 1 )$, $\mathrm{A} _{3} = ( 3 , 4 )$, $\mathrm{A} _{4} = ( 6 , 3 )$, $\mathrm{A} _{5} = ( 5 , 6 )$ 이므로 두 번마다 $( 2 , 2 )$ 씩 옮겨진다.