이동 횟수가 4인 출발점의 개수

실마리: 점 $( x , y )$에 대하여 $d = y - 2 x$로 놓고, 한 번 이동할 때마다 $d$가 어떻게 변하는지 본다. $x$축의 방향으로 $- 1$만큼 이동하면 $x$가 $1$ 줄어들므로 $d$는 $2$ 늘어나고, $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 이동하면 $y$가 $1$ 줄어들므로 $d$는 $1$ 줄어든다. 또 $d = 0$이면 이동하지 않는다. (i) $d > 0$일 때 규칙 Ⅲ에 의하여 $d$가 $1$씩 줄어들어 $0$이 되므로 이동 횟수는 $d$이다. (ii) $d < 0$이고 $d$가 짝수일 때 규칙 Ⅱ에 의하여 $d$가 $2$씩 늘어나 꼭 $0$이 되므로 이동 횟수는 $\displaystyle \frac{| d |}{2}$이다. (iii) $d < 0$이고 $d$가 홀수일 때 $d$가 $2$씩 늘어나다가 $- 1$에서 $1$로 건너뛰고, 그 뒤 아래로 한 번 더 이동하여 $0$이 되므로 이동 횟수는 $\displaystyle \frac{| d | + 1}{2} + 1$이다. 이제 $f ( \mathrm{A} ) = 4$인 경우를 찾는다. (i)에서 $d = 4$이므로 $y = 2 x + 4$ $1 \leq x$, $y \leq 10$에서 $x = 1 , 2 , 3$이므로 $3$개 (ii)에서 $\displaystyle \frac{| d |}{2} = 4$, 즉 $| d | = 8$이므로 $y = 2 x - 8$ $y \geq 1$, $y \leq 10$에서 $x = 5 , 6 , 7 , 8 , 9$이므로 $5$개 (iii)에서 $\displaystyle \frac{| d | + 1}{2} + 1 = 4$, 즉 $| d | = 5$이므로 $y = 2 x - 5$ $y \geq 1$, $y \leq 10$에서 $x = 3 , 4 , 5 , 6 , 7$이므로 $5$개 세 경우의 점은 서로 다르므로 따라서 구하는 점의 개수는 $3 + 5 + 5 = 13$