미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이등변삼각형과 탄젠트

문제

그림과 같이 AB‾=AC‾=10\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{AC}} = 10, BC‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 12인 이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 AB\mathrm{AB} 위에 ∠DCB=θ\mathrm{\angle} DCB = \theta, sin⁡θ=1010\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}이 되도록 점 D\mathrm{D}를 잡고, 선분 AC\mathrm{AC} 위에 ∠EBA=2θ\mathrm{\angle} EBA = 2 \theta가 되도록 점 E\mathrm{E}를 잡는다. 선분 BE\mathrm{BE}와 선분 CD\mathrm{CD}가 만나는 점을 F\mathrm{F}, 점 F\mathrm{F}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때, 선분 FH\mathrm{FH}의 길이는 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

θ\mathrm{\theta} 2θ\mathrm{2} \theta

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43

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해설

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 sin⁡θ=1010\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}이므로 tan⁡θ=13\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{3} tan⁡2θ=tan⁡(θ+θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=34\displaystyle \tan 2 \theta = \tan \left( \theta + \theta \right) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^{2} \theta} = \frac{3}{4} ∠CBA=α\angle \mathrm{CBA} = \alpha라 하면 이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 의하여 tan⁡α=43\displaystyle \tan \alpha = \frac{4}{3}이고, ∠CBE=β\mathrm{\angle} CBE = \beta라 하면 β=α−2θ\beta = \alpha - 2 \theta이므로 tan⁡β=tan⁡α−tan⁡2θ1+tan⁡αtan⁡2θ=724\displaystyle \tan \beta = \frac{\tan \alpha - \tan 2 \theta}{1 + \tan \alpha \tan 2 \theta} = \frac{7}{24} BH‾=FH‾tan⁡β\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \frac{\mathrm{\overline{FH}}}{\tan \beta}, CH‾=FH‾tan⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = \frac{\mathrm{\overline{FH}}}{\tan \theta}, BH‾+CH‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} + {\overline{CH}} = 12 FH‾(1tan⁡β+1tan⁡θ)=12\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} \mathit{\left( \frac{1}{\tan \beta} + \frac{1}{\tan \theta} \right)} = 12에서 FH‾=2815\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = \frac{28}{15} 따라서 p=15p = 15, q=28q = 28이므로 p+q=43p + q = 43

태그

#덧셈정리#배각

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