공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이등변삼각형 수선 합 그래프

문제

그림과 같이 AB‾=AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC}인 이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 변 BC\mathrm{BC} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P\mathrm{P}에서 변 AB\mathrm{AB} 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}, 변 AC\mathrm{AC} 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 R\mathrm{R}라고 하자.

BP‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = x와 PQ‾+PR‾=y\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PR}} = y에 대하여 yy를 xx의 함수로 나타낼 때, 그 그래프의 개형은? [3점]

①②③④⑤

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③

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해설

그림과 같이 삼각형 ABCABC를 좌표축에 옮겨 놓고 풀어도 일반성을 잃지 않는다. 또 A(a,b)A ( a , b )라 하면 삼각형 ABCABC가 이등변삼각형이므로 C(2a,0)C ( 2 a , 0 )이다. 직선 AB→y=bax\displaystyle AB \rightarrow y = \frac{b}{a} x 직선 AC→y=−ba(x−2a)\displaystyle AC \rightarrow y = - \frac{b}{a} ( x - 2 a )=−bax+2b\displaystyle = - \frac{b}{a} x + 2 b 선분 BCBC 위의 한 점 (x,0)( x , 0 )에서 두 직선 bx−ay=0,bx - ay = 0 , bx+ay−2ab=0bx + ay - 2 a b = 0까지의 거리의 합은 ∣bx∣a2+b2+∣bx−2ab∣a2+b2=∣2ab∣a2+b2\displaystyle \frac{| bx |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} + \frac{| bx - 2 a b |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}} = \frac{| 2 a b |}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}로 일정하다. ∵x<2a\because x < 2 a이므로 ∣bx−2ab∣=2ab−bx| bx - 2 a b | = 2 a b - bx [별해]

위의 그림과 같이 BC\mathrm{BC}에 대한 A\mathrm{A}의 대칭점을 잡아서 A′\mathrm{A}'이라 하면 사각형 ABA′C\mathrm{ABA}' C는 평행사변형(마름모)이 된다. 또한 R\mathrm{R}의 BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}에 대한 대칭점을 R′\mathrm{R}'이라 하면 y=PQ‾+PR‾=PQ‾+PR′‾=QR′‾\displaystyle y = \mathrm{\overline{PQ}} + \overline{PR} = \overline{PQ} + \overline{PR'} = \overline{QR'} (일정) (∵평행사변형)

태그

#점과 직선 사이 거리#그래프

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