이등변삼각형 넓이 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 삼각형 $\mathrm{POQ}$가 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} t , 0 \right)$ 삼각형 $\mathrm{POQ}$의 넓이는 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times 2 t \times t ^{2} = t ^{3}$ 삼각형 $\mathrm{PRO}$가 이등변삼각형이므로 선분 $\mathrm{OP}$의 수직이등분선이 $y$축과 만나는 점이 $\mathrm{R}$이다. 선분 $\mathrm{OP}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{\mathit{t}}{2} , \frac{t ^{2}}{2} \right)$이고 직선 $\mathrm{MR}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{t}$이므로 직선 $\mathrm{MR}$의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{t ^{2}}{2} = \mathit{-} \frac{1}{t} \left( x - \frac{t}{2} \right)$ $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{t} x + \frac{t ^{2}}{2} + \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{R} \left( \mathit{0} , \frac{t ^{2}}{2} + \frac{1}{2} \right)$ 삼각형 $\mathrm{PRO}$의 넓이는 $\displaystyle T \left( t \right) = \frac{1}{2} \times \left( \frac{t ^{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) \times t = \frac{1}{4} \left( t ^{3} + t \right)$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{T ( t ) - S \left( t \right)}{t}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\frac{1}{4} \left( t ^{3} + t \right) - t ^{3}}{t}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \left( - \frac{3}{4} t ^{2} + \frac{1}{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$