공통수학1다항식의 연산AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차식이 되는 조건과 정리

문제

다항식 $P = ( k - 1 ) x ^{3} + 2 x ^{2} y - kxy ^{2} + ( k + 2 ) x ^{2} - 3 xy + y ^{3} - 4$ 가 $x$ 에 대한 이차식이 되도록 상수 $k$ 를 정할 때, $P$ 를 $x$ 에 대하여 내림차순으로 정리한 것은? [4점] ① $( 2 y + 3 ) x ^{2} - ( y ^{2} + 3 y ) x + y ^{3} - 4$ ② $( 2 y + 3 ) x ^{2} + ( y ^{2} + 3 y ) x + y ^{3} - 4$ ③ $( 2 y + 3 ) x ^{2} - ( y ^{2} - 3 y ) x + y ^{3} - 4$ ④ $( 2 y + 3 ) x ^{2} - ( y ^{2} + 3 y ) x - 4$ ⑤ $( 2 y + 4 ) x ^{2} - ( 2 y ^{2} + 3 y ) x + y ^{3} - 4$

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①

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해설

$P$ 가 $x$ 에 대한 이차식이 되려면 $x ^{3}$ 의 계수가 $0$ 이어야 하므로 $k - 1 = 0$ , 즉 $k = 1$ 이때 $P = 2 x ^{2} y - xy ^{2} + 3 x ^{2} - 3 xy + y ^{3} - 4$ $x$ 의 차수가 같은 항끼리 묶으면 $x ^{2}$ 항: $2 x ^{2} y + 3 x ^{2} = ( 2 y + 3 ) x ^{2}$ $x$ 항: $- xy ^{2} - 3 xy = - ( y ^{2} + 3 y ) x$ 상수항: $y ^{3} - 4$ 따라서 $P = ( 2 y + 3 ) x ^{2} - ( y ^{2} + 3 y ) x + y ^{3} - 4$ 이므로 ①

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