대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차식 부분합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) SnS _{n}은 nn에 대한 이차식이다. (나) S10=S50=10S _{10} = S _{50} = 10 (다) SnS _{n}은 n=30n = 30에서 최댓값 410410을 갖는다.

5050보다 작은 자연수 mm에 대하여 Sm>S50S _{m} > S _{50}을 만족시키는 mm의 최솟값을 pp, 최댓값을 qq라 할 때, ∑k=pqak\displaystyle \sum\limits _{k = p} ^{q} a _{k}의 값은? [4점] ①3939②4040③4141④4242⑤4343

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①

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 SnS _{n}을 이용하여 수열의 합을 구한다. SnS _{n}의 이차항의 계수를 aa라 하자. 조건에서 S10=S50S _{10} = S _{50}이고 SnS _{n}은 n=30n = 30일 때 최댓값 410410을 가지므로 Sn=a(n−30)2+410S _{n} = a \left( n - 30 \right) ^{2} + 410 S10=10S _{10} = 10이므로 10=a(10−30)2+41010 = a \left( 10 - 30 \right) ^{2} + 410에서 a=−1a = \mathit{-} 1 그러므로 Sn=−(n−30)2+410S _{n} = \mathit{-} \left( n - 30 \right) ^{2} + 410 Sm>S50=S10S _{m} > S _{50} = S _{10}을 만족시키는 자연수 mm의 범위는 10<m<5010 < m < 50이므로 p=11p = 11, q=49q = 49 따라서 ∑k=pqak\displaystyle \sum\limits _{k = p} ^{q} a _{k}=∑k=1149ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 11} ^{49} a _{k}=S49−S10= S _{49} - S _{10} ={−(49−30)2+410}−10= \left\{ - \left( 49 - 30 \right) ^{2} + 410 \right\} - 10=39= 39

태그

#수열의 합과 일반항#이차함수 최대

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