이차정사각행렬의 참거짓

ㄱ. (참) $A ^{2} - AB = 3 E$에서 $\displaystyle A ( A - B ) = 3 E , A \left\{ \frac{1}{3} ( A - B ) \right\} = E$ $\displaystyle \therefore A ^{- 1} = \frac{1}{3} ( A - B )$ 따라서, 행렬 $A$의 역행렬이 존재한다. ㄴ. (참) 행렬 $A$의 역행렬이 $\displaystyle \frac{1}{3} ( A - B )$이므로 $\displaystyle A \left\{ \frac{1}{3} ( A - B ) \right\} = \left\{ \frac{1}{3} ( A - B ) \right\} A$ $\displaystyle \frac{1}{3} ( A ^{2} - AB ) = \frac{1}{3} ( A ^{2} - BA )$ $\therefore AB = BA$ ㄷ. (참) $A ^{2} B - B ^{2} A = A + B$ 에서 $AB = BA \left( \because \text{ㄴ} \right)$ 이므로 $B ( A ^{2} - AB ) = A + B$ 이때, $A ^{2} - AB = 3 E$이므로 $3 B = A + B$ $\therefore A = 2 B \cdots ( \text{ㄱ} )$ $A = 2 B$를 $A ^{2} - AB = 3 E$에 대입하면 $4 B ^{2} - 2 B ^{2} = 3 E , 2 B ^{2} = 3 E$ $\displaystyle \therefore B ^{2} = \frac{3}{2} E$ $\therefore ( A + 2 B ) ^{2} = ( 4 B ) ^{2} ( \because \text{ㄱ} )$ $\displaystyle = 16 B ^{2} = 16 ( \frac{3}{2} E ) = 24 E$