이차함수와 수선

[출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 상수의 값을 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 이차함수 ${y = ax ^{2} + bx}$의 그래프는 원점을 지나고 직선 ${x = 3}$에 대하여 대칭이다. 점 ${\mathrm{A}}$에서 ${x}$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{C}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{O} AB}$의 넓이는 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OB}} \times \overline{OC}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{BH}}$ $\displaystyle {\frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 3}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{O}} A \times 2}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O}} A = 5}$ 직각삼각형 ${\mathrm{A} OC}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{\overline{OA}} ^{2} = {\overline{OC}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} ^{2}}$$\displaystyle {\mathrm{=} {\overline{OA}} ^{2} - {\overline{OC}} ^{2}}$${= 5 ^{2} - 3 ^{2}}$${= 16}$ 그러므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} = 4}$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 ${( 3 , 4 )}$이다. ${y}$${= ax ^{2} + bx}$${= a ( x - 3 ) ^{2} + 4}$ 이차함수 ${y = a ( x - 3 ) ^{2} + 4}$의 그래프가 원점을 지나므로 ${9 a + 4 = 0}$, $\displaystyle {a = \mathit{-} \frac{4}{9}}$ ${y}$$\displaystyle {= \mathit{-} \frac{4}{9} ( x - 3 ) ^{2} + 4}$$\displaystyle {= \mathit{-} \frac{4}{9} x ^{2} + \frac{8}{3} x}$ 따라서 $\displaystyle {a = \mathit{-} \frac{4}{9}}$, $\displaystyle {b = \frac{8}{3}}$이므로 ${a + b}$$\displaystyle {= \left( - \frac{4}{9} \right) + \frac{8}{3}}$$\displaystyle {= \frac{20}{9}}$ [다른 풀이] 삼각형 ${\mathrm{BOH}}$는 ${\mathrm{\angle} OHB = 90 ^\circ}$인 직각삼각형이므로 ${\mathrm{\angle} HBO + \angle BOH = 90 ^\circ}$ 또한 ${\mathrm{\angle} BOH + \angle AOC = 90 ^\circ}$이므로 ${\mathrm{\angle} HBO = \angle AOC}$ 두 삼각형 ${\mathrm{BOH}}$, ${\mathrm{OAC}}$에서 ${\mathrm{\angle} OHB = \angle ACO = 90 ^\circ}$이고 ${\mathrm{\angle} HBO = \angle AOC}$이므로 삼각형 ${\mathrm{BOH}}$와 삼각형 ${\mathrm{OAC}}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{BO}} = \frac{10}{3}}$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{BH}} = 2}$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{OC}} = 3}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BO}} : {\overline{OA}} = {\overline{BH}} : {\overline{OC}}}$ $\displaystyle {\frac{10}{3} : \mathrm{\overline{OA}} = 2 : 3}$ $\displaystyle {2 \times \mathrm{\overline{OA}} = 3 \times \frac{10}{3}}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{OA}} = 5}$ 삼각형 ${\mathrm{OAC}}$는 ${\mathrm{\angle} OCA = 90 ^\circ}$인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{\overline{OA}} ^{2} = {\overline{OC}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}}$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} ^{2}}$$\displaystyle {\mathrm{=} {\overline{OA}} ^{2} - {\overline{OC}} ^{2}}$${= 5 ^{2} - 3 ^{2}}$${= 16}$ 그러므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} = 4}$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 ${( 3 , 4 )}$이다.