이차함수와 삼각형 넓이

점 ${\mathrm{A}}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OCA}$에서 밑변을 선분 $\mathrm{OC}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$이므로 $\triangle \mathrm{OCA}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times 6 \times {\overline{\mathrm{AH}}}$$\displaystyle = 3 {\overline{\mathrm{AH}}}$ 삼각형 $\mathrm{OCA}$의 넓이가 $\mathrm{6}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = 2$ 점 ${\mathrm{A}}$는 제$\mathrm{4}$사분면 위의 점이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 $2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = a \left( 0 < a < 6 \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = 6 - a$ 삼각형 $\mathrm{OBD}$에서 밑변을 선분 $\mathrm{OB}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}}$이므로 $\triangle \mathrm{OBD}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times {\overline{\mathrm{OD}}} = \frac{1}{2} \times 5 \times a$$\displaystyle = \frac{5}{2} a$ 삼각형 $\mathrm{DCA}$에서 밑변을 선분 $\mathrm{DC}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$이므로 $\triangle \mathrm{DCA}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times \left( 6 - a \right) \times 2$$= 6 - a$ $\triangle \mathrm{OBD}$$= \triangle \mathrm{DCA}$에서 $\displaystyle \frac{5}{2} a = 6 - a$, $\displaystyle a = \frac{12}{7}$ $\angle \mathrm{ODB} \mathit{=} \angle \mathrm{HDA}$(맞꼭지각), $\angle \mathrm{BOD} \mathit{=} \angle \mathrm{AHD}$이므로 삼각형 $\mathrm{OBD}$와 삼각형 $\mathrm{HAD}$는 서로 닮음이다. 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BO}}} : {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{OD}}} : {\overline{\mathrm{HD}}}$이므로 $\displaystyle 5 : 2 = \frac{12}{7} : {\overline{\mathrm{HD}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HD}}} = \frac{1}{5} \times 2 \times \frac{12}{7} = \frac{24}{35}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OD}}} + {\overline{\mathrm{HD}}}$$\displaystyle = \frac{12}{7} + \frac{24}{35}$$\displaystyle = \frac{12}{5}$ 점 ${\mathrm{A}}$는 제$\mathrm{4}$사분면 위의 점이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{12}{5}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 , - \frac{12}{5} \right)$이고, 이 점은 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = p \left( x - 2 \right) ^{2} - \frac{12}{5} \left( p \right.$는 상수$)$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 원점 $\mathrm{O}$를 지나므로 $f \left( 0 \right)$$\displaystyle = p \left( 0 - 2 \right) ^{2} - \frac{12}{5}$$\displaystyle = 4 p - \frac{12}{5} = 0$ $\displaystyle p = \frac{3}{5}$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{3}{5} \left( x - 2 \right) ^{2} - \frac{12}{5}$ 따라서 $f \left( 10 \right)$$\displaystyle = \frac{3}{5} \left( 10 - 2 \right) ^{2} - \frac{12}{5}$$= 36$