이차함수 꼭짓점과 넓이

두 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$, ${\mathrm{BCD}}$의 넓이가 각각 $\displaystyle \frac{3}{2}$, $\displaystyle \frac{9}{2}$이므로 $\triangle {\mathrm{ABD}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{BCD}} = \mathit{1} : 3$ 두 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$, ${\mathrm{BCD}}$의 밑변을 선분 ${\mathrm{BD}}$라 하면 두 삼각형의 높이의 비는 $1 : 3$이다. 두 삼각형의 높이의 합은 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표인 $6$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표를 $\left( 0 , q \right)$라 하면 $\displaystyle q = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2}$ 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{9}{2}$이므로 $\displaystyle \triangle {\mathrm{BCD}} \frac{= \mathit{1}}{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 2$ 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 , \frac{9}{2} \right)$ 점 $\displaystyle {\mathrm{D}} \mathit{\left( 2 , \frac{9}{2} \right)}$, 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 3 , 6 \right)}$을 지나는 직선은 $x$의 값이 $1$만큼 증가할 때, $y$의 값은 $\displaystyle \frac{3}{2}$만큼 증가하므로 이 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다. 직선 ${\mathrm{DA}}$의 방정식을 $\displaystyle y = \frac{3}{2} x + n$이라 하면 이 직선이 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 3 , 6 \right)}$을 지나므로 $\displaystyle 6 = \frac{3}{2} \times 3 + n$, $\displaystyle n = \frac{3}{2}$ 그러므로 직선 ${\mathrm{DA}}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ $\displaystyle y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$에 $y = 0$을 대입하면 $x = - 1$이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\left( - 1 , 0 \right)$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\displaystyle {\mathrm{B}} \mathit{\left( 0 , \frac{9}{2} \right)}$를 지나므로 $\displaystyle f \left( x \right) = ax ^{2} + bx + \frac{9}{2} \left( a , b \right.$는 상수, $a < 0 )$이라 하자. 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 3 , 6 \right)}$이 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle f \left( 3 \right) = 9 a + 3 b + \frac{9}{2} = 6$ $\displaystyle 3 a + b = \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( - 1 , 0 \right)}$이 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle f \left( - 1 \right) = a - b + \frac{9}{2} = 0$ $\displaystyle a - b = - \frac{9}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡을 변끼리 더하면 $4 a = - 4$, $a = - 1$ $a = - 1$을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle - 1 - b = - \frac{9}{2}$, $\displaystyle b = \frac{7}{2}$ $\displaystyle f \left( x \right) = - x ^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{9}{2} = - \left( x - \frac{7}{4} \right) ^{2} + \frac{121}{16}$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $\displaystyle \left( \frac{7}{4} , \frac{121}{16} \right)$이므로 $\displaystyle k = \frac{121}{16}$ $\displaystyle 16 k = 16 \times \frac{121}{16} = 121$