이차함수 꼭짓점 넓이

$f \left( x \right)$$= ax ^{2} - 3 ax - 4 a ^{2} - 8 a - 2$ $\displaystyle = a \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} - 4 a ^{2} - \frac{41}{4} a - 2$ 그러므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{3}{2}$ 세 점 ${\mathrm{O}}$, ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = 2$ (ⅰ) 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표가 $\left( 0 , 2 \right)$인 경우 $f \left( 0 \right) = - 4 a ^{2} - 8 a - 2 = 2$ $a ^{2} + 2 a + 1 = 0$, $\left( a + 1 \right) ^{2} = 0$ $a = - 1$ 이때 $f \left( x \right) = - x ^{2} + 3 x + 2$이므로 $f \left( 1 \right) = 4$

(ⅱ) 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표가 $\left( 0 , - 2 \right)$인 경우 $f \left( 0 \right) = - 4 a ^{2} - 8 a - 2 = - 2$ $a ^{2} + 2 a = 0$, $a \left( a + 2 \right) = 0$ $a = - 2 \left( a \neq 0 \right)$ 이때 $f \left( x \right) = - 2 x ^{2} + 6 x - 2$이므로 $f \left( 1 \right) = 2$

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 $f \left( x \right)$에 대하여 $f \left( 1 \right)$의 값의 합은 $4 + 2 = 6$